تحويل فورييه: تحليل الإشارات والاهتزازات

من الزمن إلى التردد: رؤية جديدة للإشارات

تخيّل أنك تقف بجانب محرك صناعي وتسمع صوتاً غريباً — مزيجاً من طنين منخفض وصرير عالي. بأذنك تسمع "ضجيجاً" واحداً، لكن مهندس الصيانة التنبؤية يضع مستشعر اهتزاز على المحرك ويُحلّل الإشارة بـ تحويل فورييه (Fourier Transform) — فيكتشف أن الصوت المنخفض عند 50 Hz هو اهتزاز طبيعي من التيار الكهربائي، والصرير عند 3400 Hz هو محمل كروي بدأ يتآكل.

تحويل فورييه يُحوّل إشارة من مجال الزمن (كيف تتغير مع الوقت) إلى مجال التردد (ما الترددات التي تتكون منها). هذه الأداة الرياضية هي أساس تحليل الاهتزازات، ومعالجة الإشارات، وهندسة الصوت، والاتصالات الرقمية.

متسلسلة فورييه: البداية

في عام 1807، أعلن جوزيف فورييه فكرة ثورية: أي إشارة دورية يمكن تمثيلها كمجموع موجات جيبية وجيب تمامية بترددات مختلفة.

إشارة دورية بتردد أساسي f₀ تُكتب:

f(t) = a₀/2 + Σ[aₙ×cos(2π×n×f₀×t) + bₙ×sin(2π×n×f₀×t)]

حيث:

• a₀/2 = المركبة الثابتة (DC Component) — متوسط الإشارة
• aₙ، bₙ = معاملات فورييه — تُحدّد "كمية" كل تردد في الإشارة
• n = رقم التوافقي (Harmonic): n=1 هو التردد الأساسي، n=2 هو ضعفه، وهكذا

مثال: موجة مربعة (Square Wave) — شائعة في الإلكترونيات الرقمية — هي مجموع لا نهائي من موجات جيبية بالترددات الفردية فقط:

f(t) = (4/π) × [sin(ωt) + sin(3ωt)/3 + sin(5ωt)/5 + ...]

كلما أضفت توافقيات أكثر، اقتربت من الشكل المربع المثالي. هذا يُفسّر لماذا الإشارة المربعة تُسبّب تشويشاً كهرومغناطيسياً — لأنها تحتوي ترددات عالية جداً!

معاملات فورييه: كيف نحسبها؟

a₀ = (2/T) × ∫₀ᵀ f(t) dt

aₙ = (2/T) × ∫₀ᵀ f(t) × cos(2π×n×f₀×t) dt

bₙ = (2/T) × ∫₀ᵀ f(t) × sin(2π×n×f₀×t) dt

حيث T = الدورة الزمنية.

التفسير الفيزيائي: كل معامل يقيس "مقدار التشابه" بين الإشارة الأصلية وموجة جيبية بتردد معين. إذا كان aₙ كبيراً، فالإشارة تحتوي الكثير من هذا التردد.

تحويل فورييه: للإشارات غير الدورية

متسلسلة فورييه تعمل فقط مع الإشارات الدورية. لكن في الواقع، معظم الإشارات ليست دورية — نبضة صدمة، صوت انفجار، إشارة عابرة. هنا يأتي تحويل فورييه (Fourier Transform):

F(ω) = ∫_{-∞}^{+∞} f(t) × e^(-jωt) dt

حيث:

• f(t) = الإشارة في مجال الزمن
• F(ω) = الإشارة في مجال التردد (طيف التردد)
• ω = 2πf = التردد الزاوي
• j = √(-1) = الوحدة التخيلية
• e^(-jωt) = cos(ωt) - j×sin(ωt) (صيغة أويلر)

النتيجة F(ω) عدد مركّب يحمل معلومتين:

• المقدار |F(ω)|: كمية الطاقة عند كل تردد — هذا هو الطيف (Spectrum)
• الطور ∠F(ω): التوقيت النسبي لكل مركبة ترددية

التحويل العكسي يُعيد الإشارة من مجال التردد إلى مجال الزمن:

f(t) = (1/2π) × ∫_{-∞}^{+∞} F(ω) × e^(jωt) dω

خصائص تحويل فورييه

خاصية الالتفاف هي الأهم عملياً: الالتفاف في الزمن (عملية معقدة) يتحول إلى ضرب بسيط في التردد. هذا أساس تصميم المرشحات الرقمية.

تحويل فورييه السريع (FFT)

في الحاسوب، لا نستطيع حساب التكامل المستمر. بدلاً من ذلك نستخدم تحويل فورييه المتقطع (DFT):

X[k] = Σ_{n=0}^{N-1} x[n] × e^(-j2πkn/N)

حيث N = عدد العينات.

المشكلة: DFT المباشر يحتاج N² عملية ضرب. لـ N = 1,000,000 عينة: تريليون عملية!

الحل: خوارزمية FFT (Fast Fourier Transform) التي ابتكرها كولي وتوكي عام 1965. تُقلّل العمليات من N² إلى N×log₂(N):

الفكرة: تقسيم المسألة إلى نصفين بشكل متكرر (Divide and Conquer). لهذا تعمل FFT بشكل أمثل عندما يكون N قوة العدد 2 (مثل 1024، 4096، 65536).

تطبيق: تحليل الاهتزازات

تصوّر مضخة مياه في مصنع كيميائي تهتز بشكل غير طبيعي. مستشعر تسارع (Accelerometer) يسجل الاهتزاز كإشارة زمنية. بعد تطبيق FFT:

طيف التردد يكشف:

• ذروة عند تردد الدوران (RPM/60): اتزان عادي أو عدم اتزان (Unbalance)
• ذروة عند 2× تردد الدوران: محاذاة خاطئة (Misalignment) أو تشوه حلقة المحمل
• ذروة عند ترددات عالية (kHz): تلف في المحمل الكروي — كل عيب له تردد مميز:

BPFO = (n/2) × fr × (1 - d/D × cos(α))   ← عيب في الحلقة الخارجية
BPFI = (n/2) × fr × (1 + d/D × cos(α))   ← عيب في الحلقة الداخلية
BSF  = (D/2d) × fr × (1 - (d/D × cos(α))²) ← عيب في الكرة

حيث n = عدد الكرات، fr = تردد الدوران، d = قطر الكرة، D = قطر مسار المحمل.

النتيجة: تشخيص دقيق لحالة المحمل بدون فك المضخة — هذا جوهر الصيانة التنبؤية.

تطبيق: معالجة الإشارات الصوتية

في تسجيل صوتي من بيئة صناعية:

1. تحويل FFT يكشف الترددات الموجودة
2. مرشح تمرير منخفض (Low-Pass Filter): يحذف الترددات فوق حد معين — يُزيل الصرير العالي
3. مرشح تمرير عالي (High-Pass Filter): يحذف الترددات المنخفضة — يُزيل الطنين
4. مرشح حزمي (Band-Pass Filter): يحتفظ بنطاق محدد فقط
5. مرشح إيقاف حزمة (Notch Filter): يحذف تردداً واحداً — مثلاً 50 Hz من تداخل شبكة الكهرباء

التطبيق في البرمجة: كل هذا يتم رقمياً:

الإشارة → FFT → ضرب بدالة المرشح → FFT العكسي → الإشارة المُرشَّحة

تطبيق: تحليل جودة الطاقة الكهربائية

التيار الكهربائي المثالي موجة جيبية نقية عند 50 Hz. لكن الأحمال غير الخطية (محركات بتحكم ترددي، أجهزة UPS، أفران قوسية) تُولّد توافقيات (Harmonics) — ترددات مضاعفة:

التوافقي الثالث: 150 Hz
التوافقي الخامس: 250 Hz
التوافقي السابع: 350 Hz

FFT يكشف هذه التوافقيات ويقيس نسبتها. معامل التشوه التوافقي الكلي (THD):

THD = √(V₂² + V₃² + V₅² + ...) / V₁ × 100%

معيار IEEE 519 يُحدّد الحد الأقصى المسموح للـ THD. تجاوزه يُسبّب سخونة المحولات وأعطال المعدات الحساسة.

نافذة التحليل (Windowing)

عند أخذ عينة محدودة من إشارة مستمرة، حواف العينة تُسبّب تسرب طيفي (Spectral Leakage) — ترددات وهمية تظهر في الطيف.

الحل: ضرب الإشارة بدالة نافذة قبل FFT:

معلمات التحليل الطيفي

تردد العينة (Sampling Rate - fs): حسب نظرية نيكويست: يجب أن يكون fs ≥ 2 × أعلى تردد في الإشارة. عملياً نستخدم fs ≥ 2.56 × أعلى تردد.

الدقة الترددية (Frequency Resolution):

Δf = fs / N

لتحليل اهتزاز بدقة 1 Hz مع fs = 1024 Hz: نحتاج N = 1024 عينة (ثانية واحدة).

مثال عملي: تحليل اهتزاز محرك يدور بـ 1500 RPM:

• تردد الدوران = 25 Hz
• أعلى تردد مهم ≈ 10 kHz (أعطال المحامل)
• fs ≥ 25,600 Hz (نختار 25,600 Hz)
• لدقة 1 Hz: N = 25,600 عينة (ثانية واحدة)

من فورييه إلى العالم الحقيقي

تحويل فورييه هو جسر بين ما نقيسه (إشارة متغيرة مع الزمن) وما نحتاج فهمه (الترددات المكوّنة لها). بدونه، لا توجد صيانة تنبؤية، ولا معالجة إشارات، ولا اتصالات رقمية. FFT تحديداً هو أحد أهم الخوارزميات في تاريخ الحوسبة — يعمل في كل هاتف، وكل جهاز تحكم صناعي، وكل محلل اهتزاز في كل مصنع حول العالم.